Pearson correlation coefficient

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피어슨 상관 계수(Pearson correlation coefficient 또는 Pearson's r)는 두 변수간의 관련성을 구하기 위해 보편적으로 이용된다. 개념은 다음과 같다.
r=Xr = XYY가 함께 변하는 정도 / XXYY가 각각 변하는 정도
결과의 해석
rr 값은 XXYY 가 완전히 동일하면 +1, 전혀 다르면 0, 반대방향으로 완전히 동일 하면 –1 을 가진다. 결정계수 (coefficient of determination) 는 r2r^2 로 계산하며 이것은 XX 로부터 YY 를 예측할 수 있는 정도를 의미한다.
r이 -1.0과 -0.7 사이이면, 강한 음적 선형관계, r이 -0.7과 -0.3 사이이면, 뚜렷한 음적 선형관계, r이 -0.3과 -0.1 사이이면, 약한 음적 선형관계, r이 -0.1과 +0.1 사이이면, 거의 무시될 수 있는 선형관계, r이 +0.1과 +0.3 사이이면, 약한 양적 선형관계, r이 +0.3과 +0.7 사이이면, 뚜렷한 양적 선형관계, r이 +0.7과 +1.0 사이이면, 강한 양적 선형관계
로 해석할 수 있다. pearson 상관 계수를 구하는 공식은 다음과 같다.
rpb=(xmx)(ymy)(xmx)2(ymy)2r_{pb} = \frac{\sum (x - m_x) (y - m_y)}{\sqrt{\sum (x - m_x)^2 (y - m_y)^2}}
mxm_x는 x의 평균이고는 mym_yyy의 평균을 의미한다.
다음은 scipy.stats의 pearsonr 함수 구현 코드이다.
def pearsonr(x, y): r""" Calculate a Pearson correlation coefficient and the p-value for testing non-correlation. The Pearson correlation coefficient measures the linear relationship between two datasets. Strictly speaking, Pearson's correlation requires that each dataset be normally distributed, and not necessarily zero-mean. Like other correlation coefficients, this one varies between -1 and +1 with 0 implying no correlation. Correlations of -1 or +1 imply an exact linear relationship. Positive correlations imply that as x increases, so does y. Negative correlations imply that as x increases, y decreases. The p-value roughly indicates the probability of an uncorrelated system producing datasets that have a Pearson correlation at least as extreme as the one computed from these datasets. The p-values are not entirely reliable but are probably reasonable for datasets larger than 500 or so. Parameters ---------- x : (N,) array_like Input y : (N,) array_like Input Returns ------- r : float Pearson's correlation coefficient Notes ----- The correlation coefficient is calculated as follows: .. math:: r_{pb} = \\frac{\\sum (x - m_x) (y - m_y) }{\\sqrt{\\sum (x - m_x)^2 (y - m_y)^2}} where :math:`m_x` is the mean of the vector :math:`x` and :math:`m_y` is the mean of the vector :math:`y`. References ---------- <> """ # x and y should have same length. x = np.asarray(x) y = np.asarray(y) n = len(x) mx = x.mean() my = y.mean() xm, ym = x - mx, y - my r_num = np.add.reduce(xm * ym) r_den = np.sqrt(_sum_of_squares(xm) * _sum_of_squares(ym)) r = r_num / r_den # Presumably, if abs(r) > 1, then it is only some small artifact of # floating point arithmetic. r = max(min(r, 1.0), -1.0) return r